Caso III

CONCEPTOS y FAQs

SOBRE EL TERCER CASO: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

¿Por qué se factoriza de esa manera?

Como en toda factorización, estamos buscando una expresión que sea equivalente al polinomio que nos dan, pero que sea una multiplicación (producto). Resulta que cuando elevamos un binomio al cuadrado, obtenemos un trinomio. Ya que un binomio al cuadrado se resuelve con la fórmula:

(a + b)² = a² + 2.a.b + b²

"El cuadrado del primero, más el doble producto del primero por el segundo, más el segundo al cuadrado".

Por ejemplo:

(x + 5)² = x² + 2.x.5 + 5² = x² + 10x + 25

Como se ve, el resultado tiene 3 términos. Elevamos un polinomio de 2 términos, y obtenemos uno de 3.
Ahora, si tenemos un polinomio de 3 términos, podemos pensar al revés: "Este polinomio, ¿se podrá obtener elevando al cuadrado a algún binomio (polinomio de dos términos)?".
Eso es lo que hacemos cuando aplicamos este Caso: analizamos el "trinomio" que nos están dando, para comprobar si puede ser el resultado de haber elevado a algún "binomio". En nuestro ejemplo, el trinomio x² + 10x + 25 vino de elevar al cuadrado a (x + 5), y por eso el resultado de la factorización sería (x + 5)².
Ahora, si no sabemos "de dónde vino" ¿cómo lo averiguamos? Bueno, para eso "analizamos" el trinomio. Miremos en la fórmula:

 a² + 2.a.b + b²

¿Cómo son los términos de un trinomio que es cuadrado de algo? Y... hay dos términos que son cuadrados: a² y b². Y el que está en el medio es siempre "2 multiplicado por las dos bases" (los que están al cuadrado, es decir "a" y "b"), o sea: 2.a.b (" el doble producto de a y b"). Entonces, para ver si un trinomio es cuadrado perfecto, tengo que buscar que todo eso se cumpla: Que haya dos términos que sean "cuadrados", y luego un término que sea igual a multiplicar por 2 a las bases de esos cuadrados.

Por ejemplo, en:

x² + 10x + 25

Los términos "cuadrados" son x² y 25. Las "bases" son x y 5. Y el término 10x debe ser igual entonces a 2.x.5 (el doble producto de las bases). Como 2.x.5 es igual a 10x, se cumple lo que estamos buscando.
Entonces, este trinomio cumple con todo lo que tiene que cumplir para ser el cuadrado de algo. Es el cuadrado de un binomio. Y ese binomio es (x + 5), la suma de las "bases". Por eso decimos que ese trinomio es igual a (x + 5)².

De esta forma, transformamos un polinomio de 3 términos en un "producto", ya que (x + 5)²es un producto. Es el producto de multiplicar (x + 5).(x + 5). Es decir, que "factorizamos" el polinomio.

EJEMPLO 1: (Desordenado)


 x     +     x²   +    1/4 = (x + 1/2)²

              x          1/2
 2.x.1/2
    x

No siempre están los dos cuadrados en los extremos. Las bases son "x" y "1/2", y el doble producto está en el primer término.

EJEMPLO 2: (Con potencias diferentes a "2")


x6  +  10x3  +  25 = (x3 + 5)2

x3                  5
       2.x3.5
        10x3


Bajo x3, ya que x6 es igual a (x3)2; es decir que es un "cuadrado", el cuadrado de x3. Las otras potencias pares (4, 6, 8, etc.) también son "cuadrados", ya que x4, por ejemplo, es igual a (x2)2; x6 es igual a (x3)2, por una propiedad de las potencias (potencia de potencia).